Die Gerade schneidet die Ebene. Es gibt genau eine Lösung für den Schnittpunkt: direkt ins Video springen Die Gerade schneidet die Ebene im Schnittpunkt S. 2. Die Gerade verläuft parallel zur Ebene. Gerade und Ebene schneiden sich nicht. Es gibt also keine Lösung für einen Schnittpunkt. Die Gerade und die Ebene sind parallel und haben keinen Schnittpunkt. Schnittpunkte und Schnittgeraden berechnen - Touchdown Mathe. 3. Die Gerade liegt in der Ebene. Gerade und Ebene schneiden sich die ganze Zeit. Es gibt also unendlich viele Lösungen für einen Schnittpunkt. Die Gerade liegt in der Ebene, sie schneiden sich die ganze Zeit. Schnittgerade zweier Ebenen Jetzt hast du gelernt, was ein Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene ist und wie man diesen berechnet. Was machst du aber, wenn du die Schnittgerade zweier Ebenen berechnen sollst? Das erfährst du hier!
Rechenwege zu Ebenengleichungen Hier seht ihr die notwendigen Formeln zum Berechnen von Ebenengleichungen: Drei Punkte gegeben Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform Umwandlung von Koordinatenform in Normalenform Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform Umwandlung von Parameterform in Normalenform Umwandlung von Normalenform in Koordinatenform Umwandlung von Normalenform in Parameterform 1.
Nach t freistellen: t = 0, 75u -0, 5 zweite Zeile: s -2t +0, 4u = -0, 4 Schon berechnete Variablen einsetzen: s -2⋅(0, 75u -0, 5) +0, 4⋅1u = -0, 4 Nach s freistellen: s = 1, 1u -1, 4 erste Zeile: r +1, 5s -2t -1u = 0 Schon berechnete Variablen einsetzen: r +1, 5⋅(1, 1u -1, 4) -2⋅(0, 75u -0, 5) -1⋅1u = 0 Nach r freistellen: r = 0, 85u +1, 1 Werte in zweite Ebene einsetzen: +(0, 75u -0, 5) +1u = +u Also Schnittgerade: g: x= ( -1) +r ( 5) 2, 5 4, 75 0, 5 5, 25 Wie sieht man der Rechnung an, dass sich die Ebenen nicht schneiden? In diesem Fall erhält man für gewöhnlich ziemlich schnell ein offensichtlich nicht lösbares Gleichungssystem, so wie im folgenden Beispiel: Aufgabe: Schnittpunkte finden von E: x= ( 1) +r ( 1) +s ( 0) 2 0 1 4 0 0 und E: x= ( 2) +r ( 1) +s ( 2) 3 1 3 5 0 0 Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen... ): ( 1) +r ( 1) +s ( 0) = ( 2) +t ( 1) +u ( 2) 2 0 1 3 1 3 4 0 0 5 0 0 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 1 +r = 2 +t +2u 2 +s = 3 +t +3u 4 = 5 Das Gleichungssystem löst man so: r -1t -2u = 1 s -1t -3u = 1 0 = 1 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. Schnittgerade zweier Ebenen in Parameterform - Analytische Geometrie Abitur Lernvideos - YouTube. )
Worum geht es hier? Angenommen, man hat zwei Ebenen im Raum. Entweder schneiden diese sich; dann ist die Schnittmenge eine Gerade. Oder sie schneiden sich nicht, weil sie parallel sind. Was von beidem der Fall ist, findet man zum Beispiel heraus, indem man die Ebenen gleichsetzt (was zu einem größeren Gleichungssystem führt. ) Wie kann man eine Schnittgerade berechnen? Aufgabe: Schnittpunkte finden von E: x= ( 1) +r ( 2) +s ( 3) 2 3 2 5 1 4 und E: x= ( 1) +r ( 4) +s ( 2) 3 1 4 2 3 3 Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen... ): ( 1) +r ( 2) +s ( 3) = ( 1) +t ( 4) +u ( 2) 2 3 2 3 1 4 5 1 4 2 3 3 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 1 +2r +3s = 1 +4t +2u 2 +3r +2s = 3 +t +4u 5 +r +4s = 2 +3t +3u So formt man das Gleichungssystem um: 2r +3s -4t -2u = 0 3r +2s -1t -4u = 1 r +4s -3t -3u = -3 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
Testen: Liegt der Punkt ( 2 | 5 | 2) auf g: x= ( 1) +r ( 2) 3 0 4 6? Vektorgleichung: ( 2) = ( 1) +r ( 2) 5 3 0 2 4 6 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 2 = 1 +2r 5 = 3 2 = 4 +6r Das Gleichungssystem löst man so: -2r = -1 0 = -2 -6r = 2 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. ) -2r = -1 0 = -2 0 = 5 ( das -3-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert) dritte Zeile: 0r = 5 Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie 5 ist. Also liegt der Punkt nicht darauf. Die Geraden haben einen Punkt nicht gemeinsam. Also sind sie nicht identisch, also parallel. Wie rechnet man nach, dass zwei Geraden identisch sind? Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 1) +r ( 6) 3 0 2 9 und g: x= ( 3) +r ( 8) 3 0 5 12 Die Richtungsvektoren sind linear abhängig: 1, 33⋅ = Also sind die Geraden entweder identisch oder parallel. Testen: Liegt der Punkt ( 3 | 3 | 5) auf g: x= ( 1) +r ( 6) 3 0 2 9? Vektorgleichung: ( 3) = ( 1) +r ( 6) 3 3 0 5 2 9 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 3 = 1 +6r 3 = 3 5 = 2 +9r So formt man das Gleichungssystem um: -6r = -2 0 = 0 -9r = -3 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
Aufgrund der unterschiedlichen Schreibweisen als Parameterform bzw. Koordinatenform bieten sich unterschiedliche Verfahrenswege an. Koordinatenform und Koordinatenform Die 2 Koordinatengleichungen ergeben ein unterbestimmes Gleichungssystem. Ich löse dieses GLS, wobei ich gleich eine der Koordinaten, sagen wir z=t, als Laufparameter der zu erwartenden Geraden festlege und x, y in Abhängigkeit von t berechne. Das Ergebnis für (x, y, z) ist die Schnittgerade. Mathe Eingabe Ausgabe 1 E1(x, y, z):= 2x+2y-z-6 2 E_1:=E1(x, y, z)=0 3 E2(x, y, z):= 6x+9y+2z+22 4 E_2:=E2(x, y, z)=0 : 5 E2(x, y, t)-3*E1(x, y, t) in E1 6 Löse($5, y) 7 Ersetze(E1(x, y, t), $6) 8 Löse($7, x) 9 g(t):=Ersetze((x, y, t), {$6, $8})
Das Gleichungssystem wird nicht aufgehen, siehe Beispiel. Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 2) +r ( 1) 3 0 1 3 und E: x= ( 3) +r ( 2) +s ( 3) 4 0 0 1 1 4 Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen... ): ( 2) +r ( 1) = ( 3) +s ( 2) +t ( 3) 3 0 4 0 0 1 3 1 1 4 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 2 +r = 3 +2s +3t 3 = 4 1 +3r = 1 +s +4t Das Gleichungssystem löst man so: r -2s -3t = 1 0 = 1 3r -1s -4t = 0 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. ) r -2s -3t = 1 0 = 1 5s +5t = -3 ( das -3-fache der ersten Zeile wurde zur dritten Zeile addiert) r -2s -3t = 1 5s +5t = -3 0 = 1 ( die dritte Zeile wurde mit der zweiten Zeile vertauscht) dritte Zeile: 0t = 1 Nicht möglich, da 0 mal irgendwas immer 0 und nie 1 ist. Also gibt es keine Schnittpunkte. Die Gerade ist parallel zu der Ebene. Wie sieht man, dass die Gerade in der Ebene liegt? Das Gleichungssystem hat viele Lösungen und eine Variable ist frei wählbar. Beispiel: Aufgabe: Schnittpunkte finden von g: x= ( 3) +r ( 1) 2 7 4 3 und E: x= ( 4) +r ( 2) +s ( -1) 9 6 1 7 1 2 Vektorgleichung (bedenke, Parameter umzubenennen... ): ( 3) +r ( 1) = ( 4) +s ( 2) +t ( -1) 2 7 9 6 1 4 3 7 1 2 Das liefert das folgende Gleichungssystem: 3 +r = 4 +2s -1t 2 +7r = 9 +6s +t 4 +3r = 7 +s +2t So formt man das Gleichungssystem um: r -2s +t = 1 7r -6s -1t = 7 3r -1s -2t = 3 ( Variablen wurden nach links gebracht, Zahlen nach rechts. )
Sitzkissen häkeln - schnell und einfach! (mit Gedifra Giotto Colore Molto Grande) - YouTube
Und mit Nadelstärke 8 geht das Kissen flott von der Hand! Wenn Du ein anderes Garn verwenden möchtest, mach' wie immer erst eine Maschenprobe und rechne das Modell entsprechend um. Danke Ich danke der Firma Lana Grossa GmbH für das zur Verfügung gestellte Material. Außerdem ein herzliches Dankeschön an Anne Thiemeyer für die unkomplizierte & kreative Zusammenarbeit bei diesem schönen Projekt!
So kannst Du … Weiterlesen → 17. Dezember 2021 59 Kommentare [Werbung da Markennennung] Am Dienstag, 21. 12. 2021 zeige ich dir im ARD Buffet ab 12. 15 Uhr im Ersten ein tolles Projekt -nicht nur für die Feiertage! Ich liebe Schals, welche keine eigentliche "Rückseite" haben und so beidseitig zu tragen sind. Gerade bei Zopfmuster-Modellen ist … Weiterlesen → 6. November 2021 14 Kommentare [Werbung da Markennennung] Am Dienstag, 09. 11. 15 Uhr im Ersten wie einfach und doch effektvoll dieses Kissen gehäkelt wird! 17. Sitzkissen häkeln anleitung. Oktober 2021 264 Kommentare [Werbung da Markennennung] Am Dienstag, 19. 10. 15 Uhr im Ersten wie einfach mehrfarbige Mützen gestrickt sind! 23. September 2021 35 Kommentare [Werbung da Markennennung] Am Dienstag, 28. 09. 2021 zeige ich euch im ARD Buffet ab 12. 15 Uhr im Ersten wie einfach ihr ein quergestricktes Tuch stricken könnt! 20. August 2021 8 Kommentare [Werbung da Markennennung] Am Dienstag, 24. 08. 15 Uhr im Ersten noch diese lässige Häkeldecke, bevor wir im September dann gemeinsam in den "Strick-Herbst" starten!