Die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen sind die Nullstellen der Ausgangsfunktion, denn nach den vorgenommenen Veränderungen gilt f ( x) = g ( x) − h ( x). In diesem Fall liest man x 1 = − 3 und x 2 = 1 als Nullstellen ab (siehe Abbildung).
Die Extremstellen bestimmen Bei der Bestimmung der Extremstellen spielt der Grad der Funktion keine Rolle. Das Vorgehen ist immer dasselbe. Schritt: Ableitung der Funktion berechnen, dazu verwenden wir die Potenzgesetze. Schritt: Nullstellen der Ableitung bestimmen. Dabei erhalten wir die x-Koordinaten der Extrempunkte. Schritt: x-Koordinaten in die ursprüngliche Funktion einsetzen, um die y-Koordinaten zu erhalten Schritt: Bestimmen, ob es sich um ein Minimum, Maximum oder Sattelpunkt handelt. Dies machen wir, indem wir die x-Koordinaten der Extrempunkte in die 2. Ableitung der Funktion einsetzen. Wenn f"(x) < 0, handelt es sich um ein Hochpunkt, bei f"(x) > 0, um ein Tiefpunkt und bei f"(x) = 0 um ein Sattelpunkt. Zum Beispiel: f(x) = 2x 2 + 4x 1 1. Ableitung bestimmen: f´(x) = 4x + 4 Nullstelle der Ableitung: f´(x) = 0 4x + 4 = 0 x = -1 f(-1) = 2 * (-1) 2 + 4 * (-1) -1 = -3 2. Ableitung bestimmen f´´(x) = 4 > 0 Es handelt sich um einen Tiefpunkt an der Stelle ( -1 | -3) Symmetrieeigenschaft ganzrationaler Funktionen Polynomfunktionen können entweder achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sein.
Beispiel 3: Es sind alle Nullstellen der Funktionen f mit a) f ( x) = ( x − 2) ( x + 1) ( x + 3) ( x + 2, 5) b) f ( x) = ( x − 1) ( x + 1, 5) ( x 2 + 1) zu bestimmen. Lösung der Teilaufgabe a): Der Funktionsterm ist bereits in Linearfaktoren zerlegt. Man liest als Nullstellen sofort ab: x 1 = 2; x 2 = − 1; x 3 = − 3; x 4 = − 2, 5 Lösung der Teilaufgabe b): Die (unmittelbar ablesbaren) Nullstellen sind x 1 = 1 und x 2 = − 1, 5. Weitere Nullstellen gibt es nicht, da die aus dem dritten Faktor folgende Gleichung x 2 + 1 = 0 keine reelle Lösung besitzt. Beispiel 4: Von der Funktion f ( x) = x 5 + 6 x 4 + 3 x 3 − 10 x 2 sollen die Nullstellen berechnet werden. Durch Nullsetzen und Ausklammern erhält man: x 5 + 6 x 4 + 3 x 3 − 10 x 2 = 0 x 2 ( x 3 + 6 x 2 + 3 x − 10) = 0 Aus x 2 = 0 folgt die zweifache Nullstelle x 1 = 0. Weitere Nullstellen liefert die Gleichung x 3 + 6 x 2 + 3 x − 10 = 0. Als Teiler des Absolutgliedes kommen ± 1, ± 2, ± 5 und ± 10 in Frage. Man überzeugt sich sehr schnell, dass x 2 = 1 die Bedingung erfüllt.
Näherungsweise kann man Nullstellen auch grafisch bestimmen. Man zeichnet den Graphen der Funktion und liest den Abszissenwert beim Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse als Nullstelle ab. Bei ganzrationalen Funktionen vom Grad n ≥ 3 ergeben sich bei der Nullstellenbestimmung Gleichungen, für die man (anders als bei linearen und quadratischen Funktionen) im Allgemeinen keine Lösungsformeln mehr zur Verfügung hat. Für Gleichungen dritten und vierten Grades wurden zwar bereits im 16. Jahrhundert "Lösungsformeln" entwickelt, die jedoch in der Ausführung so kompliziert sind, dass sie praktisch kaum verwendet werden. Für eine Reihe von Problemen lassen sich die Nullstellen mit Näherungsverfahren oder mit einem Computeralgebrasystem bestimmen. Sonderfälle Für einige Sonderfälle existieren auch spezielle Lösungsverfahren, z. B. Lösen durch Ausklammern. Beispiel 1: Die Nullstellen der Funktion f ( x) = x 3 − 2 x 2 − 3 x sollen ermittelt werden. Nullsetzen von f(x) ergibt: x 3 − 2 x 2 − 3 x = 0 Auf der linken Seite kann man x ausklammern: x ( x 2 − 2 x − 3) = 0 Ist ein Produkt gleich null, so ist mindestens einer der Faktoren gleich null, d. h., es ist: x 1 = 0 oder x 2 − 2 x − 3 = 0 Die Lösung der quadratischen Gleichung ergibt: x 2 = 3 und x 3 = − 1 Ein anderes spezielles Lösungsverfahren ist das Lösen durch Substitution, wenn man es mit so genannten biquadratischen Gleichungen zu tun hat.
=. Ermittle alle Nullstellen. Ein quadratischer Term (q · x² + r · x + s) kann evtl. als Produkt von zwei linearen Termen (linear ist z. x + 2) geschrieben werden. Dies hängt von den Lösungen der entsprechenden Nullgleichung (Mitternachtsformel! ) ab: Zwei unterschiedliche Lösungen a und b: der Term zerfällt in q · (x − a) · (x − b). Eine Lösung a: der Term zerfällt in q · (x − a)². Keine Lösung ("Minus unter der Wurzel"): der Term ist nicht zerlegbar. Zerlege, falls möglich, in Linearfaktoren: Ein quadratischer Faktor kann mit Hilfe der pq-Formel evtl. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen und zerfällt damit in höchstens n lineare Faktoren. Ein quadratischer Term (q · x² + r · x + s) kann evtl. Dies hängt von den Lösungen der entsprechenden Nullgleichung (pq-Formel! ) ab: Zerlege, falls möglich, in Linearfaktoren:
Ableitung dort ungleich Null: Deshalb sind und Sattelpunkte der Funktion. Mehrdimensionaler Fall [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Sattelpunkt (rot) im Fall Spezifikation über Ableitungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Für Funktionen mehrerer Veränderlicher ( Skalarfelder) mit ist das Verschwinden des Gradienten an der Stelle eine Bedingung dafür, dass ein kritischer Punkt vorliegt. Die Bedingung bedeutet, dass an der Stelle alle partiellen Ableitungen null sind. Ist zusätzlich die Hesse-Matrix indefinit, so liegt ein Sattelpunkt vor. Spezifikation direkt über die Funktion [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Im generischen Fall – das bedeutet, dass die zweite Ableitung in keiner Richtung verschwindet oder, äquivalent, die Hessesche Matrix invertierbar ist – hat die Umgebung eines Sattelpunktes eine besondere Gestalt. Für den Fall, dass ein solcher Sattelpunkt mit den Koordinatenachsen ausgerichtet ist, lässt sich ein Sattelpunkt auch ganz ohne Ableitungen in einfacher Weise beschreiben: Ein Punkt ist ein Sattelpunkt der Funktion, falls eine offene Umgebung von existiert, sodass Sattelpunkt im dreidimensionalen Raum (Animation) bzw. für alle erfüllt ist.
So haben wir die erste Nullstelle der Funktion gefunden. Die nächste können wir mithilfe der Polynodivision berechnen. Berechnen mit Polynomdivision Wenn man schon eine Nullstelle kennt kann man die weiteren Nullstellen ausrechnen. Dazu muss man die Funktion f(x) durch den Linearfaktor (x - 1) (also "x minus erste Nullstelle") teilen. Das macht man mit der Polynomdivision: Das Ergebnis ist also: x² - x - 2 Das Ergebnis setzt man in die Mitternachtsformel ein: Wir haben also insgesamt drei Nullstellen: Bei x = 1, x = 2 und x = -1
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