Online Rechner für Quadratische Gleichungen. Der Rechner formt Gleichungen, welche nicht in der Nullform liegen, erst in die Nullform um. Abhängig davon ob die resultierende Gleichung der ABC Form oder der PQ Form entspricht wird sie anschließend mit Hilfe der dafür geeigneten Formel gelöst. Auch die beiden Spezialfälle ohne linearem bzw. absolutem Glied werden bei der Berechnung speziell berücksichtigt. Beispiele für Quadratische Gleichungen $x^2 + 6x + 8$ $x^2 - \frac{2}{3} - 5 = 0$ $-(3x+3)(2x+4)$ $12 x^2 + 1 = 7x$ $\sqrt{3} x^2 + \sqrt{3} = 6x$ Weitere Beispiele findest Du in den Quadratische Gleichungen Übungsaufgaben Wie lautet Deine Quadratische Gleichung?
Zur Erinnerung: Bei einem Quadrat werden beide Seiten miteinander multipliziert, um die Fläche zu berechnen: A = a² Arten von Quadratischen Gleichungen Quadratische Gleichungen können verschiedene Formen aufweisen. Hier eine Übersicht: Die Form a·x² + 0·x + c = a·x² + c = 0 nennt man eine quadratische Gleichung ohne lineares Glied. Man sagt reinquadratische Gleichung. Die Form a·x² + b·x + 0 = a·x² + b·x = 0 nennt man eine quadratische Gleichung ohne konstantes Glied. Die Form a·x² + 0·x + 0 = a·x² = 0 → x² = 0 ist ein Spezialfall der reinquadratischen Gleichung. Die Form 1·x² + b·x + c = x² + b·x + c = 0 nennt man genormte quadratische Gleichung (sie entspricht damit der Normalform). Eine Gleichung der Form 0·x² + b·x + c = b·x + c = 0 enthält kein x² mehr. Dies ist eine lineare Gleichung. Diskriminante Die sogenannte Diskriminante ergibt sich aus: D = b 2 - 4·a·c oder mit der Normalform aus D = p 2 - 4·q. Anhand des Wertes der Diskriminanten kann man erkennen, wie viele Lösungen es gibt (reelle Zahlen).
Zwei reelle Lösungen (D > 0) Für \( D > 0 \) lässt sich die Wurzel in den reellen Zahlen ziehen und die quadratische Gleichung hat zwei reelle Lösungen (einmal mit + vor der Wurzel, einmal mit - vor der Wurzel). Als Beispiel dient die Gleichung \( 2 \cdot x^2 + 5 \cdot x + 1 = 0 \) mit den Koeffizienten \( a = 2 \), \( b = 5 \) und \( c = 1 \). Die Diskriminante \( D \) ist offensichtlich positiv: \( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 17 > 0 \) Die zwei Lösungen der Gleichung lauten somit: \( x_{1} = -0, 2192 \) \( x_{2} = -2, 2808 \) Eine reelle Lösung (\( D = 0 \)) Für \( D = 0 \) lässt sich die Wurzel zwar auch ziehen, ergibt jedoch 0. Die quadratische Gleichung hat dann nur eine Lösung (denn +0 und -0 ergibt genau die selbe Lösung). Folgende Gleichung hat eine verschwindende Diskriminante D: \( x^2 - 2 \cdot x + 1 = 0 \) \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0 \) Die Doppellösung lautet also \( x = 1 \). Zwei konjugiert komplexe Lösungen (\( D < 0 \)) Für \( D < 0 \) lässt sich keine reelle Zahl als Lösung der Wurzel finden (denn es gibt keine reelle Zahl, die quadriert eine negative Zahl ergibt).
Zusammenfassung: Der Lösungsrechner für quadratische Gleichungen mit reellen Koeffizienten kann die konjugierten komplexen Lösungen finden, wenn die Diskriminante negativ ist. komplexe_losung online Beschreibung: Dieser Rechner ermöglicht es, im Körper von komplexen Zahlen, die Gleichungen des zweiten Grades mit realen Koeffizienten zu lösen. Um die komplexen Wurzeln einer Gleichung zweiten Grades wie dieser zu finden: `x^2+1=0`, geben Sie einfach den Ausdruck x^2+1=0 ein und führen Sie die Berechnungen durch. Syntax: komplexe_losung(Gleichung;Variable) Beispiele: komplexe_losung(`x^2+1=0;x`) [x=-i;x=i] liefert Online berechnen mit komplexe_losung (Lösen Sie komplexe Gleichungen des zweiten Grades)
\( a \cdot x^2+b \cdot x = -c | \cdot 4a \) \( 4a^2 \cdot x^2+4ab \cdot x = -4ac \) Durch Vergleich mit der binomischen Formel fällt auf, dass auf der linken Seite zur Ergänzung auf ein vollständiges Quadrat lediglich mehr \( b^2 \) fehlt. \( 4a^2 \cdot x^2+4ab \cdot x = -4ac | +b^2 \) \( 4a^2 \cdot x^2+4ab \cdot x + b^2 = -4ac + b^2 \) Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat, Wurzelziehen und weiteres Umformen führt schließlich auf die große quadratische Lösungsformel. \( 4a^2 \cdot x^2+4ab \cdot x + b^2 = -4ac + b^2 \) \( (2ax + b)^2 = -4ac + b^2 \) \( (2ax + b) = \pm \sqrt{-4ac + b^2} | -b \) \( 2ax = -b \pm \sqrt{-4ac + b^2} |:(2a) \) \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2 \cdot a} \) Beispiele Große Lösungsformel \( 4 \cdot x^2-5 \cdot x + 1 = 0 \) Die Koeffizienten dieser Gleichung lauten also: \( a = 4 \) \( b = -5 \) \( c = 1 \) Einsetzen in die große Lösungsformel liefert das Ergebnis. \( x_{1, 2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} \) \( x_{1, 2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{8} \) \( x_{1, 2} = \frac{5 \pm 3}{8} \) \( x_{1} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1 \) \( x_{2} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0, 25 \) Ergänzung auf ein vollständiges Quadrat Ein Beispiel mit Zahlen und nur einer Variablen dient zur Veranschaulichung, wie die Ergänzung auf ein vollständiges Quadrat funktioniert.
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