Gegenzahl und Betrag In dieser Einheit lernst du die Begriffe Gegenzahl und Betrag einer Zahl kennen. Du wirst auch mit Gegenzahlen und Beträgen rechnen. Gegenzahl beim Rechnen mit $$+$$ Die $$+$$ Gegenzahl von einer Zahl $$x$$ ist $$–x$$. Die Zahl und die Gegenzahl zusammen ergeben immer $$0$$. Beispiele: Zu $$7$$ ist die Gegenzahl $$-7$$. Zu $$-3$$ ist die Gegenzahl $$3$$. $$8 + 5 - 5 = 8$$ Von $$+5$$ ist die Gegenzahl $$-5$$, denn $$+5-5=0$$. Gegenzahl beim Rechnen mit $$*$$ Die Gegenzahl beim $$*$$ Rechnen ist die Zahl, die mit der vorherigen Zahl durch $$:$$ Rechnen verknüpft $$1$$ ergibt. Beispiel: Zu $$*5$$ ist die Gegenzahl $$:5$$. $$3 * 7:7 = 3$$, denn $$7:7 = 1$$ $$0$$ heißt neutrales Element beim $$+$$ und – Rechnen. Es ist egal, ob du $$+ 0$$ rechnest. Beispiel: $$8 + 0 = 8$$ Die Gegenzahl von $$0$$ ist $$0$$. $$1$$ ist für $$*$$ und $$:$$ das neutrale Element. Es ändert sich das Ergebnis nicht, wenn du $$* 1$$ rechnest. Beispiel: $$4 * 1 = 4$$ Betrag einer Zahl Der Betrag einer Zahl ist der Abstand von der $$0$$.
Das Rechnen mit Beträgen wird dann meistens ab der 7. Klasse durchgeführt und wird fortgesetzt mit Betragsgleichungen und Betragsungleichungen ab der 8. Klasse und teils auch danach. F: Wozu braucht man den Betrag in der Mathematik? A: Der Betrag und die Betragsrechnung in der Mathematik wird zum Beispiel in diesen Themen angewendet: Betragsrechnung Betragsgleichungen Betragsungleichungen
Geschrieben von: Dennis Rudolph Samstag, 19. Mai 2018 um 18:42 Uhr Was man unter dem Betragsstrich und der Betragsrechnung versteht, lernt ihr hier. Dies sehen wir uns an: Eine Erklärung was der Betragsstrich ist und wie die Betragsrechnung funktioniert. Beispiele zum Rechnen mit Beträgen. Aufgaben / Übungen damit ihr dies selbst üben könnt. Ein Video zur Betragsrechnung. Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema. Tipp: Wir sehen wir uns gleich die Grundlagen zur Betragsrechnung an. Wer beim Verständnis noch Probleme bekommt, sollte in die Grundlagen reinsehen unter Betrag Mathematik. Erklärung Betragsstrich / Betragsrechnung Was war noch einmal der Betrag? Eine kurze Erinnerung: Hinweis: Der Betrag einer Zahl gibt an, wie weit diese Zahl von der 0 entfernt ist. Daher erhält man den Betrag einer Zahl durch weglassen des Vorzeichens. Der Betrag wird mit zwei Betragsstrichen dargestellt. Dabei handelt es sich um zwei vertikale Striche. Machen wir dies einmal an einem Beispiel: Egal ob wir +3 oder -3 nehmen, beide Zahlen sind von der 0 gleich weit entfernt.
Was kommt raus? – Rechnen mit Beträgen, Betrag einer Zahl berechnen - YouTube
Fall \((x<1)\) ergibt sich folgende Gleichung, die nach \(x\) aufgelöst werden muss: \(\begin{align*} -x+1+2&=6\\ -x+3&=6&&\mid-3\\ -x&=3&&\mid:(-1)\\ x&=-3 \end{align*}\) \(\mathbb{L}_2=\{-3\}\) 3. Zum Schluss musst du nur noch die Lösungsmenge der gesamten Betragsgleichung aufschreiben: \(\mathbb{L} =\mathbb{L}_1\cup\mathbb{L}_2=\{5\}\cup\{-3\}=\{5;-3\}\) Es ist auch möglich, eine Betragsgleichung durch Quadrieren zu lösen. Durch das Quadrieren verschwindet der Betrag, denn es gilt: \(|x|^2 = x^2\). Du erhältst eine quadratische Funktion, die du in ihre allgemeine Form bringen und dann mithilfe der p-q-Formel lösen kannst. Wie löst man Ungleichungen mit Betrag? Um eine Ungleichung mit Betrag durch Fallunterscheidung zu lösen, kannst du die gleiche Vorgehensweise wie bei Gleichungen mit Betrag nutzen. Nur ein paar Besonderheiten musst du beachten: Beispiel: \(|x+3|+2<3\) \(\begin{align*} x+3&\geq 0&&\mid-3\\ x&\geq-3 \end{align*} \) \(|x+3| = \begin{cases} x+3 &\text{für} x \geq -3\\ -x-3 &\text{für} x < -3 \end{cases}\) 2.
Daher haben eine Zahl und ihre Gegenzahl immer den gleichen Betrag. Dies lässt sich auf den Betrag von Vektoren verallgemeinern, der ebenfall als die Länge eines Pfeils definiert ist. Die Funktion \(f: \ x \mapsto |x|\) mit der Definitionsmenge \(D = \mathbb R\) und der Wertemenge \(W = \mathbb R_0^+\) heißt Betragsfunktion. Analog zu oben gilt Der Funktionsgraph der Betragsfunktion folgt im I. Quadranten der 1. Winkelhalbierenden ( identische Funktion y = x) und im II. Quadranten der 2. Winkelhalbierenden (Funktion y = – x). Die Betragsfunktion hat die Nullstelle x = 0. Ihr Graph ist symmetrisch zur y -Achse. Wegen \(f (x) = |x| \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) ist die Betragsfunktion nach unten beschränkt. Die größte untere Schranke (das Infimum) ist 0. Die Betragsfunktion ist eines der einfachsten Beispiele für eine Funktion, die nicht überall differenzierbar ist: Für alle x < 0 ist \(\left( |x| \right)' = -1\) für alle x > 0 dagegen \(\left( |x| \right)' = +1\), daher ist \(\left( |x| \right)'\) für x = 0 nicht eindeutig definiert.
Dabei handelt es sich aber nur um eine andere Schreibweise für den Betrag und diese hat sonst keinen weiteren Einfluss auf deine Rechnungen. Wie bestimmt man den Betrag einer Zahl? Der Betrag einer Zahl gibt immer ihren Abstand zur Zahl Null an. Der Betrag ist also immer positiv. Um beispielsweise den Betrag von \(4\) zu bestimmen, musst du dir überlegen, wie weit die Zahl \(4\) auf dem Zahlenstrahl von der Zahl \(0\) entfernt ist. \(|4|=4 \) Das gilt auch, wenn du den Betrag der Zahl \(-4\) bestimmen möchtest. Stell dir den Zahlenstrahl vor und du wirst feststellen, dass die Zahl \(-4\) den gleichen Betrag wie die Zahl \(4\) hat, denn beide haben den gleichen Abstand zu \(0\). \(|-4|=4 \) Wie löst man Gleichungen mit Betrag? Um eine Betragsgleichung durch Fallunterscheidung zu lösen, musst du folgende Schritte abarbeiten: 1. Durch eine Fallunterscheidung in zwei Fälle kannst du den Betrag auflösen. In einem Fall ist der Term im Betrag positiv. Dann kannst du den Term einfach ohne die Betragsstriche schreiben.
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