Die HNE ist meiner Meinung nach aber eleganter. 30. 2007, 19:49 tigerbine Editier doch, wenn Dir noch was einfällt. Und wenn es Schulstoff ist, dann poste es auch dort. 30. 2007, 19:55 therisen RE: Flächeninhalt eines Parallelogramms Zitat: Original von DerHochpunkt Wirklich zweimal a? ist der gesuchte Flächeninhalt. 30. 2007, 20:05 mYthos Bevor weitere Fragen kommen: Die von therisen gezeigte Determinante ist nichts anderes als die x3 - Komponente des aus den in der x1-x2 - Ebene liegenden Vektoren gebildeten Kreuzproduktes. Dabei erhalten die beiden gegebenen Vektoren vorübergehend als x3-Koordinate die Zahl 0. Wir wissen, dass der Betrag des Kreuzproduktes, der ja nichts anderes ist, als ein Normalvektor der beiden gegebenen Vektoren, definitionsgemäß die Fläche des von den beiden Vektoren gebildeten Parallelegrammes darstellt. Die Vektoren darf man natürlich nicht verlängern, sonst ändert sich der Flächeninhalt entsprechend. Es gibt noch eine andere Flächenformel, basierend auf dem von den Vektoren eingeschlossenen Winkel.
Ein Vektor steht senkrecht auf einer Ebene, wenn er senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht. Der Stützvektor hat dagegen nichts mit dem Normalenvektor zu tun, denn er bewirkt ja nur eine Verschiebung der Ebene. Daher bilden wir das Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren: $\vec u \times \vec v = \begin{pmatrix} 3\\4\\4\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1\\-2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\cdot 3-4\cdot (-2)\\4\cdot 1-3\cdot 3\\3\cdot (-2)-4\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20\\-5\\-10\end{pmatrix}$ Dieser Vektor ist bereits ein möglicher Normalenvektor. Da es bei dieser Fragestellung nur auf die Richtung und nicht auf die Länge ankommt, verkürzt man den Vektor oft, um eventuell nachfolgende Rechnungen zu vereinfachen. In diesem Fall teilt man durch 5 und verwendet $\vec n =\begin{pmatrix} 4\\-1\\-2\end{pmatrix}$ als Normalenvektor. Anwendungsbeispiel 2: Flächeninhalt eines Parallelogramms Gesucht ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren $\vec u =\begin{pmatrix} 2\\6\\3\end{pmatrix}$ und $\vec v =\begin{pmatrix} 2\\1\\-2\end{pmatrix}$ aufgespannt wird.
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist eine Mischung aus Dreieck und Rechteck. Man trennt mit der Höhe h ein Dreieck ab, das man an die übrige Figur legt und ergänzt sie damit zu einem Rechteck, deshalb gilt für den Flächeninhalt eines Parallelogramms: A = g · h
Dazu berechnen wir zunächst das Kreuzprodukt der beiden aufspannenden Vektoren. Die auftretenden Produkte werden sofort berechnet, die Differenzen in einem zweiten Schritt: $\vec u\times \vec v= \begin{pmatrix} 2\\6\\3\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2\\1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -12-3\\6-(-4)\\2-12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -15\\10\\-10\end{pmatrix}$. Der Vektor darf für die Flächenberechnung nicht verkleinert werden! Den Flächeninhalt berechnet man jetzt durch den Betrag des Vektorproduktes: $A=|\vec u \times \vec v |=\sqrt{(-15)^2+10^2+(-10)^2}=\sqrt{425}\approx 20{, }62\text{ FE}$ (Flächeneinheiten). Anwendungsbeispiel 3: Flächeninhalt eines Dreiecks Gesucht ist der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten $A(-2|1|-1)$, $B(2|8|3)$ und $C(6|-3|-2)$. Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm, kann also mit der gleichen Methode (nur mit dem Faktor $\frac 1 2$ versehen) berechnet werden.
Ich soll zeigen, dass die eine ebene zur anderen parallel ist. ebenen sind genau dann parallel, wenn der Normalenvektor der einen Ebene auch der Normalenvektor der anderen Ebene ist, d. h wenn n orthogonal zu den spannvektoren von der anderen ebene ist. Der Normalenvektor der Ebene in Koordinatenform lautet -> (2/-2/1), wenn ich nun jedoch, das Kreuzprodukt der anderen ebene berechne, so kommt nicht der selbe normalenvektor raus. vielen dank für antworten
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