In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Diskriminante versteht. Definition Die Diskriminante ist der Term unter der Wurzel in den Lösungsformeln: Allgemeine Form Normalform Quadratische Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ $x^2 + px + q = 0$ Lösungsformel $x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{{\colorbox{yellow}{$b^2 - 4ac$}}}}{2a}$ Mitternachtsformel $x_{1, 2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\colorbox{yellow}{$\left(\frac{p}{2}\right)^2-q$}}}$ pq-Formel Diskriminante $D = b^2 - 4ac$ $D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q$ * Wenn wir die Definitionsmenge auf die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ erweitern, hat eine quadratische Gleichung mit $D < 0$ zwei komplexe Lösungen. Ab sofort werden wir vor dem Einsetzen in die Lösungsformeln mithilfe der Diskriminante prüfen, ob es Lösungen gibt. Wenn es keine Lösungen gibt, sparen wir uns das Einsetzen. Diskriminante der Mitternachtsformel Beispiel 1 Berechne die Diskriminante der quadratischen Gleichung $$ 2x^2 - 8x + 6 = 0 $$ und berechne dann ggf.
Wichtige Inhalte in diesem Video In diesem Artikel erklären wir unterschiedliche quadratische Gleichungen und zeigen dir anhand von vielen Beispielen, mit welchen Formeln du sie am schnellsten lösen kannst. Am Ende des Artikels findest du einige Aufgaben zum selber Üben. Wenn du lieber in einer direkten Schritt für Schritt Anleitung verstehen willst, wie du quadratische Gleichungen lösen kannst, dann schau dir unser Video an. Quadratische Gleichungen einfach erklärt im Video zur Stelle im Video springen (00:14) Was quadratische Gleichungen sind, lässt sich ganz einfach erklären: Es sind Gleichungen, die immer mindestens ein x 2 enthalten, aber keine höheren Potenzen wie beispielsweise x 3 oder x 4. Wichtig ist dabei, dass du jede quadratische Gleichung auf eine ganz bestimmte allgemeine Form bringen kannst. Quadratische Gleichungen: Darstellungsweisen Allgemeine Form: ax 2 +bx+c=0 Normalform: x 2 +px+q=0 Die Parameter a, b, c, p und q stehen dabei für beliebige reelle Zahlen, du darfst alles einsetzen außer a=0.
Formel Anleitung zu 2) Beim Herauslesen von $a$, $b$ und $c$ kommt es häufig zu Fehlern.
die Lösung(en). Nutze dazu die Mitternachtsformel. $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen $a = 2$, $b = -8$ und $c = 6$ Diskriminante berechnen $$ \begin{align*} D &= b^2 - 4ac \\[5px] &= (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 \\[5px] &= 64 - 48 \\[5px] &= 16 \end{align*} $$ $$ {\colorbox{yellow}{$D > 0 \quad \Rightarrow \quad$ Es gibt zwei Lösungen! }} $$ $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{D}$ in die Mitternachtsformel einsetzen $$ \begin{align*} x_{1, 2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \\[5px] &= \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 2} \end{align*} $$ Lösungen berechnen $$ \begin{align*} \phantom{x_{1, 2}} &= \frac{8 \pm 4}{4} \end{align*} $$ Fallunterscheidung $$ x_{1} = \dfrac{8 - 4}{4} = \dfrac{4}{4} = 1 $$ $$ x_{2} = \dfrac{8 + 4}{4} = \dfrac{12}{4} = 3 $$ Lösungsmenge aufschreiben $$ \mathbb{L} = \{1; 3\} $$ Beispiel 2 Berechne die Diskriminante der quadratischen Gleichung $$ 2x^2 - 8x + 8 = 0 $$ und berechne dann ggf. $\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{c}$ aus der allgemeinen Form herauslesen $a = 2$, $b = -8$ und $c = 8$ Diskriminante berechnen $$ \begin{align*} D &= b^2 - 4ac \\[5px] &= (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 \\[5px] &= 64 - 64 \\[5px] &= 0 \end{align*} $$ $$ {\colorbox{yellow}{$D = 0 \quad \Rightarrow \quad$ Es gibt eine Lösung! }}