Damit lässt sich prüfen, ob ein gegebener Vektor ein Eigenvektor ist. Der Eigenvektor hat so viele Elemente, wie die quadratische Matrix Zeilen bzw. Spalten hat (im Beispiel also 2). Hat man einen Eigenvektor, ist auch jedes Vielfache (außer das 0-fache) ein Eigenvektor; so ist z. B. auch dies ein Eigenvektor zum Eigenwert 3: $$x = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$$ $$A \cdot x = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix}1 \cdot 5 + 1 \cdot 10 \\ 0 \cdot 5 + 3 \cdot 10 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} 15 \\ 30 \end{pmatrix} = 3 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix}$$ Die Frage, ob es einen solchen Eigenvektor (der kein Nullvektor sein darf) gibt, heißt Eigenwertproblem. Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix lassen sich mit dem charakteristischen Polynom bestimmen. Eigenvektoren und Eigenwerte - Studimup.de. Bei einer (oberen oder unteren) Dreiecksmatrix oder eine Diagonalmatrix geht es einfacher: hier kann man die Eigenwerte einfach von der Hauptdiagonalen (von links oben bis rechts unten) ablesen.
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Beispiel 4 Zurück zu unserem vorherigen Beispiel.
Beantwortet wächter 15 k Ich habe aber mit der p/q Formel gearbeitet und hätte λ 1/2 =–\( \frac{–2i}{2} \) +/– \( \sqrt{\frac{–2i}{2}^{2} +5} \) λ 1 =i+3i=4i λ 2 =i–3i=–2i?
Für den Eigenwert -2 macht ihr das dann einfach genauso: So erhaltet ihr die Zweiten Eigenvektoren, nämlich alle Vielfachen des Vektors:
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