Mit dem Laplace Entwicklungssatz kann man einfacher und schneller Determinanten von großen Matrizen berechnen, als mit der eigentlichen Definition der Determinante. Es lassen sich dann Determinanten von 4x4, 5x5... nxn Matrizen leicht lösen. Beim Laplace-Entwicklungssatz geht ihr so vor: Sucht euch eine Zeile oder Spalte aus, welche möglichst viele 0en hat. Es ist egal welche Zeile oder Spalte ihr nehmt, es kommt immer dasselbe raus! Streicht diese Zeile oder Spalte durch. Jetzt streicht ihr nacheinander jede Spalte durch, wenn ihr euch zuerst eine Zeile ausgesucht habt. Laplacescher Entwicklungssatz • einfach erklärt · [mit Video]. Habt ihr zuerst eine Spalte ausgesucht, streicht ihr Zeilen durch. Immer der Teil, der nicht durchgestrichen ist, ist die "neue" Matrix, von der die Determinate bestimmt wird. Die Zahl, die dann in der durchgestrichenen Zeile und Spalte liegt, wird dann mal die Determinante genommen. Das macht ihr jetzt genauso weiter, indem ihr die nächste Zeile bzw. Spalte durchstreicht, bis ihr alle durchseid. Dann addiert bzw. subtrahiert ihr eure Ergebnisse, die ihr so bestimmt.
Schritt: Einsetzen in die Formel: $det(A) = \sum\limits_{i = 1}^n (-1)^{i + 1} \cdot a_{i1} \cdot det (A_{i1})$ $= (-1)^{1 + 1} \cdot 1 \cdot 0 + (-1)^{2 + 1} \cdot 2 \cdot 3 + (-1)^{3 + 1} \cdot 1 \cdot 3 = -3$ Die Determinante von $A$ beträgt demnach $-3$. Anwendungsbeispiel Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei die Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0\\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Berechne die Determinante von $A$! Wir entwickeln nach der 4. Spalte, da in dieser die meisten Nullen stehen und sich die Determinante damit einfacher berechnen lässt. 1. Entwicklungssatz von laplage.fr. Schritt: Streiche 4. Spalte und 1. Zeile: $|A_{14}| = \begin{vmatrix} \not1 & \not2 & \not3 & \not0 \\ 2 & 1 & 3 & \not0\\ 1 & 1 & 3 & \not1 \\ 2 & 3 & 1 & \not0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$ Die Determinante muss hier nicht berechnet werden, da das Element der Matrix in der Laplaceschen Entwicklungsformel $a_{14} = 0$. Damit wird der gesamte Term $(-1)^{1 + 4} \cdot a_{14} \cdot det(A_{14}) = 0$.
Zeile und der 3.
Zeile und der 1. Spalte $(-1)^{1+1}$: Vorzeichenfaktor (hier positiv, da der Exponent gerade ist) $D_{11}$: Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die $1$ -te Zeile und die $1$ -te Spalte streicht 2.
+ - + - + - Gauß-Verfahren Der Gaußsche Algorithmus basiert auf äquivalenten Umformungen der Matrix. Laplacescher Entwicklungssatz für Determinanten | Maths2Mind. Die Umformungen: Zeilenvertauschung, Multiplikation von Zeilen mit von null verschiedenen Faktoren und Addition von vielfachen einer Zeile mit einer anderen überführen die Matrix in Treppenform. Wenn die Matrix auf Diagonalform ist und die Hauptdiagonalelemente alle 1 sind ist der Vorfaktor der Wert der Determinate. a 1 1 a 1 2 … a 1 n a j 1 a j 2 … a j n ⋮ a n 1 a n 2 … a n n = λ 1 a 1 2 … a 1 n 0 1 … a j n 0 0 … 1 = λ det A' = λ
Die Untermatrizen sehen somit wie folgt aus. Als nächstes benötigst du die Determinante der Untermatrizen Somit kannst du nun die Determinante der Matrix A berechnen Laplacescher Entwicklungssatz 4×4 Matrix Bisher hast du den Laplace Entwicklungssatz nur auf 3×3 Matrizen angewendet. Du kannst die Laplace Entwicklung allerdings auch auf größere Matrizen anwenden, wie etwa 4×4 Matrizen. Entwicklungssatz von laplace video. Betrachte zum Beispiel die Matrix, deren Determinante wir nach der vierten Spalte entwickeln. Zunächst benötigst du die Untermatrizen,, und, für die du die vierte Spalte und die entsprechende Zeile der Matrix A streichst. Die Untermatrizen lauten somit,,, Um die Determinanten der Untermatrizen zu berechen kannst du wieder den Laplace Entwicklungssatz anwenden oder du verwendest die Regel von Sarrus, deren Vorgehensweise du im Artikel zur 3×3 Determinante nachlesen kannst. Damit bekommst du Zum Schluss kannst du nun die Determinante der Matrix A berechnen Weitere Themen zur Determinante Neben dem Thema "Laplacescher Entwicklungssatz" haben wir noch weitere Themen für dich vorbereitet, die sich mit der Determinante beschäftigen.
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