Beispiel 4 Wie lautet die Primfaktorzerlegung von $210$? $$ \begin{align*} 210 &= 2 \cdot 105 \\[5px] &= 2 \cdot 3 \cdot 35 \\[5px] &= 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \end{align*} $$ Beispiel 5 Wie lautet die Primfaktorzerlegung von $165$? $$ \begin{align*} 165 &= 3 \cdot 55 \\[5px] &= 3 \cdot 5 \cdot 11 \end{align*} $$ Anmerkung Um das obige Verfahren erfolgreich anzuwenden, solltest du alle Primzahlen bis (mindestens) $19$ – also $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$ $17$, $19$ – auswendig können sowie einige Teilbarkeitsregeln beherrschen, nämlich die Teilbarkeitsregel 2, Teilbarkeitsregel 3 und Teilbarkeitsregel 5. Wenn Primfaktoren mehrmals vorkommen, wie in unserem Beispiel $300 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$, dann bietet sich auch die abkürzende Potenzschreibweise an, also $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$. Praktische Bedeutung Die Primfaktorzerlegung ist ein wichtiger Zwischenschritt in vielen mathematischen Verfahren. Www.mathefragen.de - Erkenntnisse zu Quersummen (Muster?!). Sie hilft z. B. bei der Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV).
Auch, wenn es inzwischen eine Vielzahl an Möglichkeiten gibt, beginnt man in der Regel mit der kleinsten Primzahl (also der Zahl 2). Damit spart man sich den ersten Schritt (Primzahl suchen, durch die die Zahl teilbar ist). Kann die Zahl durch die Primzahl (in unserem Fall 2) geteilt werden, haben wir die erste Zerlegung erreicht. Die Zahl wird durch die Primzahl / Primfaktor geteilt. Das Ergebnis der so erhalten Zahl wird wieder auf die Teilbarkeit durch eine Primzahl geprüft. Nachfolgend zwei Beispiele: Beispiel 1: Primfaktorzerlegung der Zahl 18 Im ersten Schritt nehmen wir die Primzahl 2. Die Zahl 18 endet auf eine gerade Zahl, daher ist die Zahl durch 2 teilbar. Im zweiten Schritt teilen wir die Zahl 18 durch die Primzahl 2. Wir erhalten 18: 2 = 9. Wir haben also die erste Zerlegung der Zahl 18 in 2 · 9 Im dritten Schritt prüfen wir, ob der Faktor "9" noch teilbar ist. D. h. wir prüfen, ob die Zahl 9 eine Primzahl ist. Durch 2 ist 9 nicht teilbar (=> ungerade), durch 3 ist9 teilbar (=> Quersumme durch 3 teilbar).
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