Nun ist \(\operatorname{Ker}(A)\) gerade die Lösungsmenge des durch \(A\) gegebenen linearen Gleichungssystems, und \(\operatorname{Im}(A)\) ist der Teilraum derjenigen Vektoren \(b\), für die das lineare Gleichungssystem mit erweiterter Koeffizientenmatrix \((A\mid b)\) lösbar ist. Wir können also die hier gegebenen Definitionen von Kern und Bild einer linearen Abbildung als (weitreichende) Verallgemeinerungen dieser Konzepte aus der Theorie der linearen Gleichungssysteme betrachten. Andererseits liefert die abstrakte Sichtweise auch Erkenntnisse über lineare Gleichungssysteme: Das folgende Theorem, die Dimensionsformel für lineare Abbildungen, gibt eine präzise und sehr elegante Antwort auf die in Frage 5. 27 (2) formulierte Frage, siehe auch Abschnitt 7. 4. Theorem 7. 23 Dimensionsformel für lineare Abbildungen Sei \(f\colon V\rightarrow W\) eine lineare Abbildung zwischen \(K\)-Vektorräumen und sei \(V\) endlich-dimensional. Dann gilt: \[ \dim V = \dim \operatorname{Ker}f + \dim \operatorname{Im}f. \] Die Zahl \(\dim \operatorname{Im}f\) heißt auch der Rang von \(f\), in Zeichen: \(\operatorname{rg}(f)\).
Sei \(f\colon V\rightarrow W\) ein \(K\)-Vektorraumhomomorphismus. Definition 7. 20 Der Kern von \(f\) ist definiert als \[ \operatorname{Ker}(f):= f^{-1}(\{ 0 \}) = \{ v\in V;\ f(v) = 0 \}. \] Wie bei jeder Abbildung, so haben wir auch für die lineare Abbildung \(f\) den Begriff des Bildes \(\operatorname{Im}(f)\): \(\operatorname{Im}(f) = \{ f(v);\ v\in V\} \subseteq W\). Lemma 7. 21 Für jede lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) ist \(\operatorname{Ker}(f)\) ein Untervektorraum von \(V\) und \(\operatorname{Im}(f)\) ein Untervektorraum von \(W\). Weil \(f(0)=0\) ist, ist \(0\in Ker(f)\). Sind \(v, v^\prime \in \operatorname{Ker}(f)\), so gilt \(f(v+v^\prime)=f(v)+f(v^\prime)=0+0=0\), also \(v+v^\prime \in \operatorname{Ker}(f)\). Sind \(v\in \operatorname{Ker}(f)\) und \(a\in K\), so gilt \(f(av)=af(v)=a\cdot 0 =0\), also \(av\in \operatorname{Ker}(f)\). Wir zeigen nun die Behauptung für \(\operatorname{Im}(f)\). Es gilt \(f(0)=0\), also \(0\in \operatorname{Im}(f)\). Sind \(w, w^\prime \in \operatorname{Im}(f)\), so existieren \(v, v^\prime \in V\) mit \(w=f(v)\), \(w^\prime =f(v^\prime)\).
Er ist ein Untervektorraum (allgemeiner ein Untermodul) von. Ist ein Ringhomomorphismus, so ist die Menge der Kern von. Er ist ein zweiseitiges Ideal in. Im Englischen wird statt auch oder (für engl. kernel) geschrieben. Bedeutung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Kern eines Gruppenhomomorphismus enthält immer das neutrale Element, der Kern einer linearen Abbildung enthält immer den Nullvektor. Enthält er nur das neutrale Element bzw. den Nullvektor, so nennt man den Kern trivial. Eine lineare Abbildung bzw. ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor bzw. dem neutralen Element besteht (also trivial ist). Der Kern ist von zentraler Bedeutung im Homomorphiesatz. Beispiel (lineare Abbildung von Vektorräumen) [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Wir betrachten die lineare Abbildung, die durch definiert ist. Die Abbildung bildet genau die Vektoren der Form auf den Nullvektor ab und andere nicht. Der Kern von ist also die Menge. Geometrisch ist der Kern in diesem Fall eine Gerade (die -Achse) und hat demnach die Dimension 1.
Dann gilt \[ w+w^\prime = f(v) + f(v^\prime) = f(v+v^\prime) \in \operatorname{Im}(f) \] wegen der Linearität von \(f\). Für \(w = f(v) \in \operatorname{Im}(f)\) und \(a\in K\) erhalten wir entsprechend \(aw = af(v) = f(av)\in \operatorname{Im}(f)\). Satz 7. 22 Die lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) ist genau dann injektiv, wenn \(\operatorname{Ker}(f)=\{ 0\} \). Wenn \(f\) injektiv ist, kann es höchstens ein Element von \(V\) geben, das auf \(0\in W\) abgebildet wird. Weil jedenfalls \(f(0) =0\) gilt, folgt \(\operatorname{Ker}(f)=\{ 0\} \). Ist andererseits \(\operatorname{Ker}(f)=\{ 0\} \) und gilt \(f(v) = f(v^\prime)\), so folgt \(f(v-v^\prime)=f(v)-f(v^\prime)=0\), also \(v-v^\prime \in \operatorname{Ker}(f) = 0\), das heißt \(v=v^\prime \). Eine injektive lineare Abbildung \(V\to W\) nennt man auch einen Monomorphismus. Eine surjektive lineare Abbildung \(V\to W\) nennt man auch einen Epimorphismus. Für eine Matrix \(A\) gilt \(\operatorname{Ker}(A) = \operatorname{Ker}(\mathbf f_A)\), \(\operatorname{Im}(A) = \operatorname{Im}(\mathbf f_A)\).
Der Kern einer Abbildung dient in der Algebra dazu, anzugeben, wie stark die Abbildung von der Injektivität abweicht. Dabei ist die genaue Definition abhängig davon, welche algebraischen Strukturen betrachtet werden. So besteht beispielsweise der Kern einer linearen Abbildung zwischen Vektorräumen und aus denjenigen Vektoren in, die auf den Nullvektor in abgebildet werden; er ist also die Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung und wird hier auch Nullraum genannt. In diesem Fall ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor in besteht. Analoge Definitionen gelten für Gruppen- und Ringhomomorphismen. Der Kern ist von zentraler Bedeutung im Homomorphiesatz. Definition [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Ist ein Gruppenhomomorphismus, so wird die Menge aller Elemente von, die auf das neutrale Element von abgebildet werden, Kern von genannt. Er ist ein Normalteiler in. Ist eine lineare Abbildung von Vektorräumen (oder allgemeiner ein Modulhomomorphismus), dann heißt die Menge der Kern von.
12. 2008, 00:12 Ja an sowas hab ich auch gedacht, ist korrekt. Warum es für R^5 nicht funktioniert sollte dann auch klar sein Anzeige 12. 2008, 00:24 ähm ehrlich gesagt ist das mir dann noch nicht klar, könnte mir das nur verbal vorstellen. Da im R5 5 vektoren existieren, kann der Kern nie dem Bild entsprechen, das es nie 3 vektoren gibt, die 0 werden, beziehungsweise der es immer zu einem ungleichgewicht kommt, aber wie kann man das anhand von Formeln begründen... und zu oben. Meine Abbildung von R4 -> R4 ist dann K: y= A x oder, weil ich mir auch noch nicht im klaren bin, ob das nun meine Abbildung ist, da ich die dort ja bloß als hilfsmittel definiert hab 12. 2008, 00:31 Zitat: Original von Xx AmokPanda xX Nicht so kompliziert... Muss ich den Link nochmal posten? Ja. Du solltest eine lin. Abb. angeben und das hast du getan... 12. 2008, 00:36 also zusammenfassend: Abbildung: K: y = Ax und warum es in R5 nicht existiert: Weil Kern A = Bild A wegen dem Dimensionssatz nicht gilt. Hätte jemand dafür vielleicht noch eine bessere begrüngung 12.
Die Dimension des Kerns wird auch als Defekt bezeichnet und kann mit Hilfe des Rangsatzes explizit berechnet werden. Verallgemeinerungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Universelle Algebra [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In der universellen Algebra ist der Kern einer Abbildung die durch induzierte Äquivalenzrelation auf, also die Menge. Wenn und algebraische Strukturen gleichen Typs sind (zum Beispiel und sind Verbände) und ein Homomorphismus von nach ist, dann ist die Äquivalenzrelation auch eine Kongruenzrelation. Umgekehrt zeigt man auch leicht, dass jede Kongruenzrelation Kern eines Homomorphismus ist. Die Abbildung ist genau dann injektiv, wenn die Identitätsrelation auf ist. Kategorientheorie [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] In einer Kategorie mit Nullobjekten ist ein Kern eines Morphismus der Differenzkern des Paares, das heißt charakterisiert durch die folgende universelle Eigenschaft: Für die Inklusion gilt. Ist ein Morphismus, so dass ist, so faktorisiert eindeutig über.
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