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Wir haben: 2\Re(a \overline{b}) \leq 2 |a\overline{b}|=2 |a||\overline{b}|=2|ab| Das heißt, wir haben: Und so, indem man die Wurzel dieser 2 positiven Begriffe nimmt: Wir haben die Dreiecksungleichung im komplexen Fall gut bewiesen. Im Falle einer Norm ist die Dreiecksungleichung a Axiom und muss daher nicht nachgewiesen werden. Elemente der Mathematik, Klassenarbeitstrainer, Ausgabe Niedersachsen: Elemente der Mathematik Klassenarbeitstrainer - Ausgabe für Niedersachsen – Rachid El Araari (2015) – terrashop.de. Korrigierte Übungen Übung 618 Es ist eine rein rechnerische Übung. Wir werden die Tatsache verwenden, dass: Und auch das Wir verwenden dann die Verallgemeinerung der Dreiecksungleichung: \begin{array}{l} |1+a|+|a+b|+|b+c|+|c| \\ = |1+a|+|-ab|+|b+c|+|-c| \\ \geq |(1+a)+(-ab)+(b+c)+(-c)|\\ =|1|=1 \end{array} Womit diese Übung abschließt. Übung 908 Lassen Sie uns zunächst f definieren durch untersuchen \forall x\in\mathbb{R}_+, f(x)=\dfrac{x}{1+x} Wir können f in die Form umschreiben f(x) = 1 - \dfrac{1}{1+x} Dies reicht aus, um zu zeigen, dass f wächst. Beachten Sie, dass f(|x|)=g(x). Nun bringen wir für die rechte Seite alles auf den gleichen Nenner: \begin{array}{ll} g(x)+g(y) &=\dfrac{|x|}{1+|x|}+\dfrac{|y|}{1+|y|}\\ &= \dfrac{|x|(1+|y|)+|y|(1+|x|)}{(1+|x|)(1+|y|)}\\ &= \dfrac{ |x|+|xy|+|y|+|xy|}{1+|x|+|y|+|xy|}\\ &= \dfrac{|x|+|y|+2|xy|}{1+|x|+|y|+|xy|}\\ & \geq \dfrac{|x|+|y|+|xy|}{1+|x|+|y|+|xy|}\\ & = g(|x|+|y|+|xy|) \end{array} Wir haben: f(|x|+|y|+|xy|) \leq g(x)+g(y) Oder, |x+y| \leq |x|+|y|\leq |x|+|y|+|xy| Also, durch Wachstum von f: f(|x+y|) \leq f(|x|+|y|+|xy|) \leq g(x)+g(y) Erst recht gilt f(|x+y|) = g(x+y).
Übung 287 Hier ist die Demonstration ganz einfach. Wir übernehmen die Funktion \varphi:\left\{ \begin{array}{lll}M_n(\mathbb{R}) &\rightarrow &\mathbb{R}\\A &\mapsto &A- {}^t A \end{array} \Rechts. Wir haben: S_{n}(\mathbb{R})=\varphi^{-1}(\{0\}) Außerdem ist φ eine stetige Funktion. Dies reicht daher aus, um zu schließen, dass die Menge der symmetrischen Matrizen eine abgeschlossene Menge der Menge der Matrizen ist. Da es sich weder um die leere Menge noch um den gesamten Raum handelt, ist es natürlich nicht gleichzeitig offen und geschlossen. Übung 319 O ist ein offenes. Sei x ein Punkt von O. Übungsheft elemente der mathematik gdm. \exists \varepsilon > 0, B(x, \varepsilon) \in O Nehmen wir jetzt Wir haben: Or z = y - x \in B(x, \varepsilon) - x = B(0, \varepsilon) Das lässt sich leicht ableiten B(0, \varepsilon) \in Vektor(O) Sei nun x ein Element von E. Wir haben y = \dfrac{\| \varepsilon \|}{2\|x\|} x \in B(0, \varepsilon) \| y \|= \dfrac{\| \varepsilon \|}{2\|x\|} \| x\| = \dfrac{\varepsilon}{2} \leq \varepsilon Wir haben: x = \dfrac{\| x\|}{2\|\varepsilon\|} y \in Vect(B(0, \varepsilon)) \subset Vect(O) Das haben wir gerade gezeigt: \forall x \in E, x \in Vect(O) Daraus können wir schließen: Finden Sie unsere letzten korrigierten Übungen: Stichwort: Korrigierte Übungen Mathematik Mathematik Topologie