Die Determinante, Mehrzahl Determinanten, ist eine spezielle Funktion in der linearen Algebra. Sie wird einer quadratischen Matrix (auch Quadratmatrix, n Zeilen und n Spalten) bzw. allgemein einem Endomorphismus einen Skalar (mathematische Größe) zugeordnet. Determinanten Rechner Stell uns deine Frage. Wir antworten dir schnellstens... Mit Determinanten kann beispielsweise festgestellt werden, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, sowie zur Flächenberechnung und dem Invertieren von Matrizen. Die Lösung kann mit Hilfe der Cramersche Regel, auch Determinanten Methode genannt, dann explizit angegeben werden. Determinanten rechner mit lösungsweg 1. Das Gleichungssystem ist dann eindeutig lösbar, wenn Determinante und Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante dann ungleich null ist. Die Cramersche Regel ist benannt nach Gabriel Cramer, die im Jahr 1750 veröffentlicht wurde, jedoch schon vorher von Leibniz gefunden wurde. Für Determinanten (abgekürzt in der Formel mit det, A oder detA) gibt es verschiedene Schreibweisen.
Für 3×3 Matrizen haben wir die Regel des Sarrus in der Animation rechts grafisch veranschaulicht. Für 2×2 verläuft die Regel ganz ähnlich, allerdings entsprechend der Größe der Matrix auch wesentlich einfacher: Dieses Schema für die Berechnung der Determinante einer 3×3-Matrix ist nicht anwendbar auf größere ( n > 3) Matrizen. Online-Determinantenrechner - Solumaths. Anwendungsmöglichkeiten Die Determinante wird (in der Oberstufe) am häufigsten für folgende Berechnung verwendet: Das Lösen eines linearen Gleichungssystems (Cramer'sche Regel, auch Determinantenregel genannt) Der Berechnung der Fläche einer Dreiecks bzw. eines Parallelogramms, das durch drei Punkte im Raum aufgespannt wird Berechnung des Volumens eines Parallelepipeds (ein schiefer Quader) Nachweis ob eine Matrix invertierbar ist. Dies ist der Fall wenn det( A) ≠ 0 Überprüfen, ob Vektoren linear unabhängig voneinander sind (daher: wenn zwei Vektoren parallel zueinander sind, dann sind sie linear abhängig. Wenn sie nicht parallel zueinander sind, dann sind sie linear unabhängig).
Beim Lösen von Gleichungssystemen fällt oft das Wort "Determinante". Dies nicht ohne Grund, denn die Determinante wird vor allem zum Lösen von linearen Gleichungssystemen verwendet. So hat jedes lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der Matrix A (die dem Gleichungssystem als Matrix zugrunde liegt) ungleich Null ist, mathematisch ausgedrückt det A≠0. Wie die Übersetzung des Begriffes Determinante (= die Bestimmende) handelt es sich bei der Determinante um eine Zahl, die einer Matrix zugeordnet ist. Determinante berechnen Am Anfang ist es wichtig, eine Matrix von einer Determinante zu unterschreiben, denn beide Schreibweisen sind ähnlich. Im Grunde unterscheidet sich eine Determinante nur durch gerade Striche von einer Matrix. Um eine Determinante einer Matrix zu beschreiben, werden zwei Schreibweisen verweisen. Determinanten rechner mit lösungsweg 10. Einerseits wird ein "det" vor der Matrix geschrieben (die Matrix steht in Klammer). Andererseits wird auch eine Determinante so formuliert, dass Klammern der Matrix durch gerade Striche ersetzt werden (Schreibweise für die Determinante der Matrix A: det (A) oder |A|.
=> a 1 1 a 2 2 a 2 3 a 3 2 a 3 3 Das zweite Element ist der Faktor a 12 und die Unterdeterminante gegeben durch die Grün hinterlegten Elemente. a 1 2 a 2 1 a 2 3 a 3 1 a 3 3 Das dritte Element ist der Faktor a 13 und die Unterdeterminante gegeben durch die Grün hinterlegten Elemente. a 1 3 a 2 1 a 2 2 a 3 1 a 3 2 Mit den drei Elementen kann die Determinante als eine Summe von 2x2 Determinanten ausgedrückt werden. Determinanten rechner mit lösungsweg die. - Es ist wesentlich zu beachten, dass das Vorzeichen der Elemente alterniert. + - + - + - Gauß-Verfahren Der Gaußsche Algorithmus basiert auf äquivalenten Umformungen der Matrix. Die Umformungen: Zeilenvertauschung, Multiplikation von Zeilen mit von null verschiedenen Faktoren und Addition von vielfachen einer Zeile mit einer anderen überführen die Matrix in Treppenform. Wenn die Matrix auf Diagonalform ist und die Hauptdiagonalelemente alle 1 sind ist der Vorfaktor der Wert der Determinate. a 1 1 a 1 2 … a 1 n a j 1 a j 2 … a j n ⋮ a n 1 a n 2 … a n n = λ 1 a 1 2 … a 1 n 0 1 … a j n 0 0 … 1 = λ det A' = λ
Steht in der Zeile kein 0 wird eine Spalte weiter gesucht. Ist eine 0 zu finden, so wird diese Zeile addiert, sonst bricht der Algorithmus ab, denn die Zeilenvektoren sind dann nicht linear unabhängig damit die Determinante sicher 0 beträgt. Indem dann zu allen weiteren Zeilen unterhalb der letzten Zeile mit 0 die passende Vielfache addiert werden, können dann die Elemente zu 0 gemacht werde. Die Vielfache ändert durch addieren den Wert der Determinanten nicht, da der Rechner dieses berücksichtigt. Das Gauß-Verfahren benannt nach Carl Friedrich Gauß (1777 bis 1855) ist ein Algorithmus der linearen Algebra und ist ein Verfahren eben von linearen Gleichungen und beruht auf elementare Umformungen von Gleichungssystemen um eine Lösung zu erhalten. Ursprünglich definierte man Determinanten als eine Eigenschaft linearer Gleichungssysteme. Sie determiniert (daher die Ableitung zum Begriff) ob diese Gleichung eine eindeutige Lösung hat. Das ist der Fall, wenn die Determinante ungleich 0 ist. Determinanten Rechner ? Grundlagen & kostenloses Rechner-Tool ?. Hieraus resultieren die 2×2 Matrizen nach Gerolamo Cardano (1501 bis 1576) Ende des 16. Jahrhundert und etwa 100 Jahre später größere Matrizen nach Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 bis 1716).
Letztendlich ist die Berechnung von Determinanten ziemlich komplex und der Rechner erleichtert einiges und ist dazu noch besonders schnell und genau.
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