Der mathematische Teil Der eulerschen Zahl spielt besonders in der Infinitesimalrechnung eine wichtige Rolle. Mit der Hilfe der Grenzwertbildung lässt sich die Zahl berechnen. Doch zwischen welchen Grenzen liegt die eulersche Zahl? Dazu einmal zwei Graphen: Die eulersche Zahl hat einen Winkel von 45° und muss somit zwischen 2 (mit einem Winkel von unter 45°) und 3 (mit einem Winkel von über 45°) liegen. Doch wie kommt man nun an die Zahl? Eine sehr ineffiziente Möglichkeit wäre, sich im Intervallverfahren der Zahl anzunähern, in dem man für zwei Intervalle jeweils den Winkel bestimmt. Doch das Problem kann auch mathematisch angegangen werden: denn bei einer Expotentialfunktion gilt immer. Doch das führt immernoch nicht zu einem Ergebnis, deswegen wird jetzt das Potenzgesetz () benötigt. Zuerst muss das ganze Umgeformt werden, sodass eine Multiplikation entsteht: Dabei kürzt sich n heraus, womit diese Form äquivalent zu ist. Nun wird das Potenzgesetz angewandt, womit das Ganze nun wie folgt ausschaut: Doch auf dem Rechner große Zahlen (z.
Geschrieben von: Dennis Rudolph Mittwoch, 03. April 2019 um 18:29 Uhr Die eulersche Zahl behandeln wir hier. Dies sehen wir uns an: Eine Erklärung, was die Eulersche Zahl ist. Beispiele zu dieser speziellen Zahl. Aufgaben / Übungen zu diesem Thema. Ein Video bei dem die Eulersche Zahl vorkommt. Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Thema. Tipp: In der Mathematik gibt es verschiedene Konstanten. Die Eulersche Zahl ist eine davon. Deutlich bekannter sollte jedoch die Kreiszahl Pi sein. Eulersche Zahl Erklärung In der Mathematik gibt es so genannte Konstanten, welche in Gleichungen verwendet werden können. Am Bekanntesten dürfte die Kreiszahl Pi sein. Pi wird benötigt um zum Beispiel die Fläche von einem Kreis zu berechnen. Diese Kreiszahl ist etwas größer als 3: Neben der Kreiszahl Pi gibt es noch eine weitere Konstante, welche sehr oft in der Mathematik verwendet wird. Diese wird als Eulersche Zahl bezeichnet. In Formeln / Gleichungen wird diese mit einem "e" abgekürzt. Diese Zahl ist etwas größer als 2, 71.
#1 Ich will die eulersche Zahl über die Reihe berechnen. Dabei soll die Grenze der Reihe als Kommandozeilenparameter eingelesen werden. Meine Lösung: Java: public class EulerscheZahl { public static void main (String[] args) { int grenze =1; rseInt(args[0]); double fak=1; double erg=1; for(int i=1; i<= grenze; i++) { fak*=i; erg= erg + (1/fak);} (erg);}} In Eclipse funktioniert das, jedoch bekomme ich in dem von meiner Uni bereitgestellten Toll folgenden Fehler: Exception in thread "main" 0 Woher kommt das? #2 Hi also die Reihendarstellung der e-Funktion ist: Summe aus 1/k!, wobei k! die Fakultät von k meint, das sieht bei dir jetzt erstmal richtig aus. Zur Fehlermeldung: Die Fehlermeldung kommt beispielsweise wenn man ein Array der Größe 10 hat und versucht sich einen 11 Wert ausgeben zu lassen. Ich weiß jetzt nicht was das für ein Tool ist, aber gibts du dem Tool auch den Parameter an Code: java programm_name -parameter Zuletzt bearbeitet: 27. Dez 2017 #3 Aber ich habe doch immer nur an der 1.
Nun wird es mathematisch: Wir bezeichnen mit n die Anzahl der Teilnehmer und mit A i das Ereignis, dass sich der i -te Teilnehmer selbst zieht. Dann gilt P[A i]=(n-1)! /n! da der i -te Teilnehmer sich selbst ziehen muss (1 Möglichkeit), der nächste Teilnehmer hat noch die Auswahl aus (n-1), der nächste aus (n-2) usw. Die Gesamtzahl aller möglichen Ziehungen ist nach demselben Argument n!, daher ergibt sich die obige Wahrscheinlichkeit. Weiterhin ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich mindestens k Teilnehmer selbst ziehen, diese ist nach einem ähnlichen Argument P[A 1 ∩A 2 ∩…∩A k]=(n-k)! /n! Nun können wir mit der Siebformel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen: Da es (n über k) viele Teilmengen mit k Elementen gibt, ergibt sich Das ist an und für sich kein besonders schönes Ergebnis, denn hier kann man nichts mehr weiter vereinfachen oder zusammenfassen. Mit Hilfe eines Computers können wir aber sehr leicht die Wahrscheinlichkeiten berechnen: n P[Ziehung muss wiederholt werden] 2 0, 5 5 0, 6333333333333333 15 0, 6321205588286029 100 0, 6321205588285578 1000 Wie man deutlich sieht, stabilisieren sich die Wahrscheinlichkeiten, wenn das n immer größer wird, und zwar nähern sie sich immer mehr der Zahl 1-1/e≈0, 6321205588285578 an!
Die eulersche Phi-Funktion ist eine zahlentheoretische Funktion. Sie ordnet jeder natürlichen Zahl n n die Anzahl der natürlichen Zahlen a a von 1 bis n n zu, die zu n n teilerfremd sind, für die also ggT ( a, n) = 1 \ggT(a, n) = 1 ist. Sie ist benannt nach Leonhard Euler und wird mit dem griechischen Buchstaben φ \phi (Phi) bezeichnet. Beispiele Die Zahl 6 ist zu zwei Zahlen zwischen 1 und 6 teilerfremd (1 und 5), also ist φ \phi (6) = 2. Die Zahl 13 ist als Primzahl zu den zwölf Zahlen von 1 bis 12 teilerfremd, also ist φ \phi (13) = 12. Die ersten 20 Werte der φ \phi -Funktion lauten: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 f ( n) f(n) Berechnung Primzahlen Da alle Primzahlen p p nur durch 1 und sich selbst teilbar sind, sind sie sicher zu den Zahlen 1 bis p p -1 teilerfremd, daher ist φ \phi ( p p) = p p -1. Potenz von Primzahlen Eine Potenz p k p^{k} aus einer Primzahl p p und einer natürlichen Zahl k k ist nur zu Vielfachen von p p nicht teilerfremd. Es gibt p k − 1 p^{k-1} Vielfache von p p, die kleiner oder gleich p k p^{k} sind (1* p p, 2* p p,..., p k − 1 p^{k-1} * p p).