Quotientenregel Definition Die Quotientenregel als eine der Ableitungsregeln wird angewendet, wenn ein Bruch mit Funktionstermen im Zähler und Nenner abgeleitet werden soll. Beispiel Die Funktion sei $$f(x) = \frac{x^3}{(3x + 2)}$$ Die mit der Quotientenregel gebildete 1. Ableitung der Funktion ergibt ebenfalls einen Bruch; dabei ist der ("abgeleitete") Zähler: (Zähler abgeleitet mal Nenner) minus (Zähler mal Nenner abgeleitet) und der (abgeleitete) Nenner: Nenner quadriert. Für die obige Funktion: $$f '(x) = \frac{[3x^2 \cdot (3x + 2) - x^3 \cdot 3]}{(3x + 2)^2}$$ $$f '(x) = \frac{(9x^3 + 6x^2- 3x^3)}{(3x + 2)^2}$$ $$f '(x) = \frac{(6x^3 + 6x^2)}{(3x + 2)^2}$$ Die Quotientenregel allgemein als Formel: $$y = \frac{f(x)}{g(x)} \to y' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}$$ Alternative Begriffe: Ableitung von Brüchen. Bruch ableiten. Funktionsterme nur im Zähler oder Nenner des Bruchs Die Quotientenregel ist nur dann notwendig, wenn Funktionsterme mit x in Zähler und Nenner sind. x nur im Zähler Beispiel: x nur im Zähler $$f(x) = \frac{x^3}{3}$$ Das kann man auch so schreiben: $$f(x) = \frac{1}{3} \cdot x^3$$ Und mit der Faktorregel ableiten: $$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$$ x nur im Nenner Beispiel: x nur im Nenner $$f(x) = \frac{1}{(x + 2)}$$ $$f(x) = (x + 2)^{-1}$$ Und mit der Ableitung einer Potenzfunktion: $$f'(x) = -1 \cdot (x + 2)^{-2} = - \frac{1}{(x + 2)^2}$$
Zum Erlernen der Kettenregel eignet sich dieses einfache Beispiel jedoch hervorragend.
Moin moin, wollte mal wissen wie ich von folgender Funktion die Ableitung mache: f(x)=x-1+4/x Danke!
►Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück. ►Die quotientenregel verwendet man immer bei gebrochenrationalen funktionen. ►Die Quotientenregel ist eine kombination aus Produkt und Kettenregel Quotientenregel leitet man nach der folgenden Formel ab. ►Beachte. dass v(x) im Nenner steht. Und was im Nenner steht, darf nicht Null sein. Durch Null darf dich nicht dividiert werden! Im Gegensatz zur Produktregel kommt es bei der Quotientenregel im Zähler auf die Reihenfolge der Terme an, da die Subtraktion nicht kommutativ (umstellbar, vertauschbar) ist! Ableitung mit Wurzel im Nenner | Mathelounge. Als Eselsbrücke kannst du folgende einfache Merkregel benutzen 1. Merkregel ⇒ "NAZ minus ZAN" Als Merkregel für den Zähler lässt sich die Kurzform "NAZ minus ZAN" für "Nenner ("N") mal A bleitung des Z ählers ("AZ") minus Z ähler ("Z") mal Ableitung des Nenners ("AN"))" benutzen.
65 Aufrufe Aufgabe: f(x) = 1 geteilt durch x (steht im Buch in einem Bruch) In der Lösung steht, dass sich daraus ergibt: f'(x) = -x hoch -2 Problem/Ansatz: Ich verstehe nicht so ganz genau, wie man die Ableitung von f(x) bildet, wenn x im Bruch vorhanden ist... Gefragt 9 Apr von Celine Christin 3 Antworten 1/x = x^-1 -> f (x) = -1*x^(-2) = -1/x^2 mit Quotientenregel: u=1 -> u'=0 v= x -> v' = 1 -> (0*x- 1*)/x^2 =-1/x^2 Beantwortet Gast2016 78 k 🚀
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