15, 7k Aufrufe Ich soll zeigen, dass die n te Wurzel aus n gegen 1 geht für n gegen Unendlich. Ich habe jetzt bis n < (1+e) n umgeformt. Ich weiß, dass ich das jetzt mit dem Binomialsatz umschreiben kann, aber wie mir das weiterhelfen soll weiß ich leider nicht. N te wurzel aus n.c. Vielen Dank für Hilfe:) Gefragt 24 Nov 2016 von Schau mal bei den ähnlichen Fragen Das hier bei sollte passen. 2 Antworten Grenzwert: lim (n → ∞) n^{1/n} lim (n → ∞) n^{1/n} = lim (n → ∞) EXP(LN(n^{1/n})) = lim (n → ∞) EXP(1/n * LN(n)) = lim (n → ∞) EXP(LN(n) / n) Wir kümmern uns erstmal nur um den Exponenten lim (n → ∞) LN(n) / n L'Hospital lim (n → ∞) (1/n) / 1 = lim (n → ∞) 1/n = 0 Nun betrachten wir wieder die ganze Potenz lim (n → ∞) EXP(LN(n) / n) = lim (n → ∞) EXP(0) = 1 Beantwortet 25 Nov 2016 Der_Mathecoach 416 k 🚀
3 Antworten Hi, lim n-> ∞ n √(3^n-2) = lim n->∞ n √(3^n) =lim n->∞ 3^{n/n} = 3, -> Für große n kannst du das -2 getrost ignorieren. lim n->∞ n √(2n+1) ist eigentlich ein Grundgrenzwert den man kennen darf, denke ich. Für das erste Mal, aber folgender Vorschlag: Mit e-Funktion umschreiben: lim n->∞ exp(ln(2n+1)/n) -> l'Hospital -> lim n->∞ exp(2/(1+2n)*1) = e^{1/∞} = e^0 = 1 Das orangene ist keine schöne Schreibweise und sollte man sich einfach denken. Zum Verständnis aber mal eingefügt. Grüße Beantwortet 11 Jul 2013 von Unknown 139 k 🚀 lim n-->∞ (3^n - 2)^{1/n} = exp(1/n * ln(3^n - 2)) = exp(ln(3^n - 2) / n) [exp ist die e-Funktion] Wir wenden im Exponenten der e-Funktion die Regel von Hospital an. Beweis zum Grenzwert der n-ten Wurzel aus n | Mathelounge. = exp(3^n·LN(3)/(3^n - 2)) Wir wenden nochmals die Regel von Hospital an = exp((3^n·ln(3)^2)/(3^n·ln(3))) = exp(ln(3)) = 3 Der_Mathecoach 416 k 🚀 Also die n-te Wurzel ist nur ein anderer Ausdruck für (irgendetwas)^{1/n}. Also bei (3 n -2) bedeutet n-te Wurzel (3 n -2)^{1/n}. Wenn du jetzt eine Tabelle mit links n und rechts den Wert für (3 n -2)^{1/n}, kannst du erkennen das sich der Wert der reellen Zahl 3 immer mehr nähert, je größer n wird, das setzt jedoch einen Taschenrechner o. ä.
Aus der Eindeutigkeit der Wurzel folgt für, : Für, ist. Es seien,,,. Wenn, dann ist. definiert man:. Satz 2. 17 (Bernoullische Ungleichung für die Wurzel) Für,, und gilt:. Beweis. Wir setzen. Dann ist. Nach Bernoulli () folgt Wenden wir die soeben gezeigt Ungleichung an, so folgt:. Beweis. Der Fall ist klar. Wenn der Grenzwert, so gibt es ein so daß für. Die Behauptung folgt nun aus der Bernoullischen Ungleichung:. Feststellung 2. 19 Es sei,. N te wurzel aus n.e. Dann ist. Die Folge ist Bemerkung: Die Konvergenz folgt aus der Bernoullischen Ungleichung: Für gilt:. Beispiel. Beweis. Für setze man mit und wende die Bernoullische Ungleichung an:. Also ist. Im Falle ist und aus folgt die strenge Monotonie der Folge:. Im Falle sind die Kehrwerte streng monoton fallend. Feststellung 2. 20 Die Folge, (), ist streng monoton fallend und es ist Bemerkung. Die Behauptungen folgen aus der Abschätzung für Beweis. Nach Lemma gilt Wir setzen.. mbert 2001-02-09
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