a) Wo liegen die Fußpunkte des Hügels? Gleichung bestimmen für alle x? (Schule, Mathe, Mathematik). b) Wie steil ist der Hügel am westlichen Fußpunkt? Wie groß ist dort der Stei- gungswinkel? Problem/Ansatz: 4 Antworten a) Vermutlich sollen die Fußpunkte dort liegen, wo die angegebene Funktion Nullstellen hat. Du sollst also diejenigen Werte von x bestimmen, für die gilt: f ( x) = 0 Also: - ( 1 / 2) x ² + 4 x - 6 = 0 Multipliziere beide Seiten mit - 2 <=> x ² - 8 x + 12 = 0 Jetzt pq-Formel anwenden mit p = -8 und q = 12 oder "zu Fuß" weiterrechnen mit der quadratischen Ergänzung.
( I): f ( - 1) = a ⋅ ( - 1) 3 + b ⋅ ( - 1) 2 + c ( - 1) + d = - a + b - c + d = 0 Du musst beim Potenzieren negativer Zahlen aufpassen, denn bei ungeraden Exponenten bleibt das - erhalten, bei geraden nicht. Der Schluss d = 0 nach der ersten Zeile ist völlig aus der Luft gegriffen. Diesen Schluss könntest du nur ziehen, wenn der eingesetzte Punkt x = 0 wäre, denn dann würden a, b, und wegfallen und nur d übrigbleiben. Die Koordinaten des Wendepunktes musst du nicht in die 1. Ableitung einsetzen, sondern in f ( x): (II): f ( - 2) = a ⋅ ( - 2) 3 + b ⋅ ( - 2) 2 + c ⋅ ( - 2) + d = - 8 a + 4 b - 2 c + d = 2 Und da kommt auch keineswegs automatisch c = 2 raus (siehe Erläuterungen zu d = 0). Den Tiefpunkt kannst du in f ' ( x) einsetzen: (III): f ' ( - 1) = 3 a ⋅ ( - 1) 2 + b ⋅ ( - 1) + c = 3 a - 2 b + c = 0 (Achtung, diese 0 hat nichts mit dem y-Wert des Punktes zu tun, sondern kommt davon, dass bei einer Extremstelle eine waagrechte Tangente mit der Steigung 0 vorliegt. )
Hier Infos per Bild, was du vergrößern kannst oder herunterladen. So wie beim Krater und der Parabel das KS eingezeichnet ist sollte man etwas über die Form der Parabelgleichung sagen können: f(x) = ax² + c c ergibt sich direkt aus der Skizze, -200 f(x) = ax² - 200 a kann man aus einem der Ränder des Kraters, den Nullstellen bestimmen. Die Nullstellen sind (-400|0) und (+400|0). Einen dedr Punkte in f(x) = ax² - 200 einsetzen und a bestimmen.. Wenn man nicht erkennt, wie die Parabelgleichung aussieht, kann man auch die allgemeine Form [f(x) = ax² + bx + c] nehmen. Aus der Skizze ergeben sich drei Punkt. Neben den Nullstellen noch (0|-200). Wenn man diese drei Punkte in die allgemeine Form einsetzt, erhält man ein LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Das sollte lösbar sein. ax² + bx + c = y Wir wissen das y in der Mitte 200 ist, also ist c = 200. Dann wissen wir das y bei -400 und +400 auch 0 ist. Tragen wir ein: a*-400^2 + b*-400 + 200 = 0 a*400^2 + b * 400 + 200 = 0 2 Variablen zwei Gleichungen also Additionsverfahren: 160.
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